Условие
Треугольник
ABC правильный,
M — некоторая точка.
Докажите, что если числа
AM,
BM и
CM образуют геометрическую
прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
Решение
Пусть
O1 и
O2 — такие точки,
что
= 4
/3 и
= 4
/3. Легко
проверить, что если
BM > 2
AM, то точка
M лежит внутри окружности
S1
радиуса 2
AB/3 с центром
O1 (см. задачу
7.14), а если
CM > 2
BM, то
точка
M лежит внутри окружности
S2 радиуса 2
AB/3 с
центром
O2. Так как
O1O2 >
BO1 = 4
AB/3, а сумма радиусов
окружностей
S1 и
S2 равна 4
AB/3, то эти окружности не
пересекаются. Следовательно, если
BM =
qAM и
CM =
qBM, то
q < 2.
Источники и прецеденты использования
