Задача 57624

Тема:    [ Синусы и косинусы углов треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin² + sin² + sin² = (p² - r² - 4rR)/2R².
б)  4R²coscoscos = p² - (2R + r)².

Решение

а) Ясно, что  sin² + sin² + sin² = (a²+b²+c²)/4R и  a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab + bc + ca) = 4p² - 2(r² + p² + 4rR) (см. задачу 12.30).
б) Согласно задаче 12.39, б)  2 coscoscos = sin² + sin² + sin² - 2. Остается воспользоваться результатом задачи а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	5
Название	Синусы и косинусы углов треугольника
Тема	Синусы и косинусы углов треугольника
задача
Номер	12.041