Задача 57643

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC отрезки BO и CO, где O — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках D и E со сторонами AC и AB. Оказалось, что  BDE = 50^o и  CED = 30^o. Найдите величины углов треугольника ABC.

Решение

Поскольку  BDE = 50^o и  CED = 30^o, то  BOC = EOD = 180^o - 50^o - 30^o = 100^o. Будем считать, что фиксированы диаметры BB' и CC' окружности, причем  BOC = 100^o, а точка A движется по дуге B'C'. Пусть D — точка пересечения BB' и AC, E — точка пересечения CC' и AB (рис. 12.6). Так как при движении точки A от B' к C' отрезок OE увеличивается, а OD уменьшается, то угол OED убывает, а угол ODE возрастает. Поэтому существует единственное положение точки A, при котором  CED = OED = 30^o и  BDE = ODE = 50^o.
Докажем теперь, что треугольник ABC с углами  A = 50^o,B = 70^o,C = 60^o обладает требуемым свойством. Пусть  A₁...A₁₈ — правильный восемнадцатиугольник. В качестве треугольника ABC можно взять треугольник  A₂A₁₄A₉. Диагональ A₁A₁₂ проходит через точку E (см. решение задачи 12.58). Пусть F -- точка пересечения прямых A₁A₁₂ и A₅A₁₄; прямая A₉A₁₆ симметрична прямой A₁A₁₂ относительно прямой A₅A₁₄, поэтому она проходит через точку F. В треугольнике CDF луч CE является биссектрисой угла C, а прямая FE — биссектрисой внешнего угла при вершине F. Поэтому DE — биссектриса угла ADB, т. е.  ODE = ( A₂A₁₄ + A₅A₉)/4 = 50^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	7
Название	Вычисление углов
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.060