Задача 57716

Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть S_a — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности S_b, S_c и S_d определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности данного четырехугольника, a = , b = , c = и  d = . Если H_d — ортоцентр треугольника ABC, то = a + b + c (задача 13.13).
а) Возьмем точку K так, что = a + b + c + d. Тогда KH_d = | - | = |d| = R, т. е. точка K лежит на окружности S_d. Аналогично доказывается, что точка K лежит на окружностях S_a, S_b и S_c.
б) Пусть O_d — центр окружности девяти точек треугольника ABC, т. е. середина отрезка OH_d. Тогда = /2 = (a + b + c)/2. Возьмем точку X так, что = (a + b + c + d)/2. Тогда XO_d = |d|/2 = R/2, т. е. точка X лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точка X лежит на окружностях девяти точек треугольников BCD, CDA и DAB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.034