Условие
Пусть
H1,
H2 и
H3 — ортоцентры треугольников
A2A3A4,
A1A3A4 и
A1A2A4. Докажите, что площади
треугольников
A1A2A3 и
H1H2H3 равны.
Решение
Пусть
ai =
и
wi =
.
Согласно задаче
13.49, б) достаточно проверить, что
a1 
a2 +
a2 a3 +
a3 a1 =
w1 w2 +
w2 w3 +
w3 w1.
Векторы
a1 -
w2 и
a2 -
w1 перпендикулярны
вектору
a3, поэтому они параллельны, т. е.
(
a1 -
w2)
(
a2 -
w1) = 0. Сложив это равенство
с равенствами
(
a2 -
w3)
(
a3 -
w2) = 0
и
(
a3 -
w1)
(
a1 -
w3) = 0, получим требуемое.
Источники и прецеденты использования
