Информация о задаче

Задача 57804

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что вписанная окружность касается окружности девяти точек (Фейербах). Найдите трилинейные координаты точки касания.

Решение

Уравнение вписанной окружности можно записать в виде

$\displaystyle \left(\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right.$ x $\displaystyle {\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}}$ +... $\displaystyle \left.\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right)$ (x sin $\displaystyle \alpha$ +...) = $\displaystyle {\frac{4\cos^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\beta}{2}\cos^2\frac{\gamma}{2}}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}$ (yz sin $\displaystyle \alpha$ +...),

а уравнение окружности девяти точек можно записать в виде (x cos $\alpha$ +...)×(x sin $\alpha$ +...) = 2(yz sin $\alpha$ +...). Поэтому согласно задаче 14.44, б) их радикальная ось задается уравнением

2 cos² $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ cos² $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ cos² $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ (x cos $\displaystyle \alpha$ +...) = sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \left(\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right.$ x $\displaystyle {\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}}$ +... $\displaystyle \left.\vphantom{x\frac{\cos^4\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha}+\ldots}\right)$ .

Сократим обе части на 2 cos ${\frac{\alpha }{2}}$ cos ${\frac{\beta}{2}}$ cos ${\frac{\gamma}{2}}$ . Учитывая, что

2 cos³ $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ - cos $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\beta }{2}}$ cos $\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$ cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle {\frac{\alpha }{2}}$ sin $\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$ sin $\displaystyle {\frac{\alpha -\gamma }{2}}$ ,

полученное уравнение можно записать в виде

$\displaystyle {\frac{x\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\beta-\gamma}{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{y\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha-\gamma}{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{z\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}}$ = 0.

Согласно задаче 14.45 это уравнение является уравнением касательной к вписанной окружности в точке (sin² ${\frac{\beta-\gamma}{2}}$ : sin² ${\frac{\alpha-\gamma}{2}}$ : sin² ${\frac{\alpha-\beta}{2}}$ ) (Легко проверить, что эта точка действительно лежит на вписанной окружности.) Если радикальная ось двух окружностей касается одной из них в некоторой точке, то окружности касаются в той же самой точке.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.046