Информация о задаче

Задача 57805

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Найдите трилинейные координаты вершин треугольника Брокара.
б) Найдите трилинейные координаты точки Штейнера (см. задачу 19.55.2).

Решение

а) Из решения задачи 19.55 следует, что вершина A₁ треугольника Брокара является точкой пересечения прямых CP и BQ, где P и Q — первая и вторая точки Брокара. Поэтому точка A₁ имеет трилинейные координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{1:\frac{c^2}{ab}:\frac{b^2}{ac}}\right.$ 1 : $\displaystyle {\frac{c^2}{ab}}$ : $\displaystyle {\frac{b^2}{ac}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1:\frac{c^2}{ab}:\frac{b^2}{ac}}\right)$ = (abc : c³ : b³).

Барицентрические координаты этой точки имеют вид (a² : c² : b²).
б) Вычисления удобнее провести в барицентрических координатах. В барицентрических координатах ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) прямая B₁C₁ задается уравнением

0 = $\displaystyle \begin{vmatrix} \alpha&\beta&\gamma\\ \vspace{1\relax } c^2&b^2&a^2\\ \vspace{1\relax } b^2&a^2&c^2 \end{vmatrix}$ = $\displaystyle \alpha$ (b²c² - a⁴) + $\displaystyle \beta$ (a²b² - c⁴) + $\displaystyle \gamma$ (a²c² - b⁴).

Кроме того, $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 1. Поэтому прямая, проходящая через точку A параллельно прямой B₁C₁, задается уравнением

$\displaystyle \beta$ (a²b² - c⁴ + a⁴ - b²c²) + $\displaystyle \gamma$ (a²c² - b⁴ + a⁴ - b²c²) = 0,

т. е. (a² + b² + c²) $\bigl($ $\beta$ (a² - c²) + $\gamma$ (a² - b²) $\bigr)$ = 0. Поэтому $\beta$ : $\gamma$ = ${\frac{1}{c^2-a^2}}$ : ${\frac{1}{a^2 - b^2}}$ . Таким образом, точка Штейнера имеет барицентрические координаты $\left(\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}: \frac{1}{a^2-b^2}}\right.$ ${\frac{1}{b^2-c^2}}$ : ${\frac{1}{c^2-a^2}}$ : ${\frac{1}{a^2 - b^2}}$ $\left.\vphantom{\frac{1}{b^2-c^2}:\frac{1}{c^2-a^2}: \frac{1}{a^2-b^2}}\right)$ . Трилинейные координаты точки Штейнера имеют вид

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{a(b^2-c^2)}:\frac{1}{b(c^2-a^2)}:\frac{1}{c(a^2-b^2)}}\right.$ $\displaystyle {\frac{1}{a(b^2-c^2)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{b(c^2-a^2)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{c(a^2-b^2)}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{a(b^2-c^2)}:\frac{1}{b(c^2-a^2)}:\frac{1}{c(a^2-b^2)}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	6
Название	Трилинейные координаты
Тема	Трилинейные координаты
задача
Номер	14.047