Информация о задаче

Задача 58016

Тема:

[

Поворотная гомотетия

]

Сложность: 4+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Треугольники MAB и MCD подобны, но имеют противоположные ориентации. Пусть O₁ — центр поворота на угол 2 $\angle$ ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BM}$ ), переводящего A в C, а O₂ — центр поворота на угол 2 $\angle$ ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AM}$ ), переводящего B в D. Докажите, что O₁ = O₂.

Решение

Пусть P₁ — поворотная гомотетия с центром B, переводящая A в M, а P₂ — поворотная гомотетия с центром D, переводящая M в C. Так как произведение коэффициентов этих поворотных гомотетий равно (BM : BA)^.(DC : DM) = 1, то их композиция P₂oP₁ является поворотом (переводящим A в C) на угол $\angle$ ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BM}$ ) + $\angle$ ( $\overrightarrow{DM}$ , $\overrightarrow{DC}$ ) = 2 $\angle$ ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BM}$ ).
С другой стороны, центр поворота P₂oP₁ совпадает с центром поворота на угол 2 $\angle$ ( $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AM}$ ), переводящего B в D (см. задачу 19.36).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	5
Название	Поворотная гомотетия
Тема	Поворотная гомотетия
задача
Номер	19.037