ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58161
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Ломаные ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.


Решение

Прямая l задаёт две полуплоскости; одну из них будем называть верхней, а другую нижней. Пусть n1 (соответственно n2) – число вершин ломаной, лежащих на прямой l, для которых оба выходящих из них звена лежат в верхней (соответственно в нижней) полуплоскости, а m – число всех остальных точек пересечения прямой l и ломаной. Совершим обход ломаной, выйдя из некоторой точки, не лежащей на прямой l, и вернувшись в ту же точку. При этом мы переходим из одной полуплоскости в другую, только проходя через любую из m точек пересечения. Так как мы вернёмся в ту же точку, из которой начали обход, то m чётно. По условию  n1 + n2 + m = 1985,  поэтому число  n1 + n2  нечётно, то есть  n1n2.  Пусть для определенности  n1 > n2.  Проведём тогда в верхней полуплоскости прямую l1, параллельную l и удалённую от неё на расстояние меньшее чем любое ненулевое расстояние от l до вершин ломаной (см. рис.). Число точек пересечения ломаной с прямой l1 равно  2n1 + m > n1 + n2 + m = 1985,  то есть l1 – искомая прямая.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 23
Название Делимость, инварианты, раскраски
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Чет и нечет
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 23.002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .