Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
58160
(#23.001)
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8
|
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2n+1)-угольника; б) 2n-угольника?
Решение
а) Первый способ. Будем двигаться вдоль прямой в одном направлении. При каждом пересечении границы многоугольника мы переходит снаружи многоугольника внутрь или изнутри наружу. Поскольку оба "конца" прямой находятся снаружи многоугольника, мы пересечём границу чётное число раз. Значит, мы не можем пересечь все стороны (их нечётное число, а дважды одну сторону пересечь нельзя).
Второй способ. См. задачу 30285.
б) Из рисунка видно, как при любом n построить 2n-угольник и прямую, пересекающую все его стороны.
Ответ
а) Не может; б) может.
Задача
58161
(#23.002)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8
|
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Решение
Прямая l задаёт две полуплоскости; одну из них будем называть верхней, а другую нижней. Пусть n1 (соответственно n2) – число вершин ломаной, лежащих на прямой l, для которых оба выходящих из них звена лежат в верхней (соответственно в нижней) полуплоскости, а m – число всех остальных точек пересечения прямой l и ломаной. Совершим обход ломаной, выйдя из некоторой точки, не лежащей на прямой l, и вернувшись в ту же точку. При этом мы переходим из одной полуплоскости в другую, только проходя через любую из m точек пересечения. Так как мы вернёмся в ту же точку, из которой начали обход, то m чётно. По условию n1 + n2 + m = 1985, поэтому число n1 + n2 нечётно, то есть n1 ≠ n2. Пусть для определенности n1 > n2. Проведём тогда в верхней полуплоскости прямую l1, параллельную l и удалённую от неё на расстояние меньшее чем любое ненулевое расстояние от l до вершин ломаной (см. рис.). Число точек пересечения ломаной с прямой l1 равно 2n1 + m > n1 + n2 + m = 1985, то есть l1 – искомая прямая.
Задача
58162
(#23.003)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8
|
На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?
Решение
После каждого удара изменяется ориентация треугольника ABC. Поэтому вернуться в исходное состояние можно только после чётного числа ударов.
Ответ
Не могут.
Задача
31075
(#23.004)
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?
Решение
См. задачу 87972 б).
Задача
58164
(#23.005)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8
|
Окружность разбита точками на 3k дуг: по k дуг длины 1, 2 и 3. Докажите, что найдутся две диаметрально противоположные точки деления.
Решение
Предположим, что окружность разбита на дуги указанным образом, причём диаметрально противоположных точек деления нет. Поскольку против концов дуги длины 1 не лежат точки разбиения, то против неё лежит дуга длины 3. Выбросим одну из дуг длины 1 и противолежащую ей дугу
длины 3. При этом окружность разбивается на две дуги. Если на одной из них лежит m дуг длины 1 и n дуг длины 3, то на другой лежит m дуг длины 3 и n дуг длины 1. Общее количество дуг длины 1 и 3, лежащих на этих двух больших дугах, равно 2(k – 1), поэтому n + m = k – 1. Так как, кроме дуг длиной 1 и 3, есть дуги только чётной длины, то чётность длины каждой из двух рассматриваемых дуг совпадает с чётностью числа k – 1. С другой стороны, длина каждой из них равна ½ (6k – 1 – 3) = 3k – 2. Противоречие, так как числа k – 1 и 3k – 2 имеют разную чётность.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 23. Делимость, инварианты, раскраски
>>
параграф 1. Чет и нечет
