Задача 58166

Тема:    [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9 Название задачи: Лемма Шпернера.

Условие

Вершины треугольника помечены цифрами 0, 1 и 2. Этот треугольник разбит на несколько треугольников таким образом, что никакая вершина одного треугольника не лежит на стороне другого. Вершинам исходного треугольника оставлены старые пометки, а дополнительные вершины получают номера 0, 1, 2, причём каждая вершина на стороне исходного треугольника должна быть помечена одной из пометок вершин этой стороны (см. рис.). Докажите, что существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2.

Решение

  Рассмотрим отрезки, на которые разбита сторона 01. Пусть a – число отрезков вида 00, b – число отрезков вида 01. Для каждого отрезка рассмотрим число нулей, стоящих на его концах, и сложим все эти числа. В итоге получим  2a + b.  С другой стороны, все "внутренние" нули входят в эту сумму дважды, а есть ещё один нуль, стоящий в вершине исходного треугольника. Поэтому число  2a + b  нечётно, то есть b нечётно.
  Перейдём теперь к разбиению треугольника. Пусть a₁ – общее количество треугольников вида 001 и 011, а b₁ – число треугольников вида 012. Для каждого треугольника рассмотрим число его сторон вида 01 и сложим все эти числа. В итоге получим  2a₁ + b₁.  С другой стороны, все "внутренние" стороны входят в эту сумму дважды, а все "граничные" лежат на стороне 01 исходного треугольника и число их нечётно по предыдущему рассуждению. Поэтому число  2a₁ + b₁  нечётно, в частности,  b₁ ≠ 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Чет и нечет
Тема	Четность и нечетность
задача
Номер	23.007