ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58167
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вершины правильного 2n-угольника A1...A2n разбиты на n пар.
Докажите, что если  n = 4m + 2  или  n = 4m + 3,  то две пары вершин являются концами равных отрезков.


Решение

Предположим, что все пары вершин задают отрезки разной длины. Отрезку ApAq поставим в соответствие наименьшее из чисел  |p – q|  и  2n – |p – q|.  В результате для данных n пар вершин получим числа 1, 2, ..., n. Заметим, что среди этих чисел чётных ровно  k = 2m + 1 , а нечётных –  n – k.  Нечётным числам соответствуют отрезки ApAq, где числа p и q разной чётности. Поэтому среди вершин остальных отрезков будет  n – (n – k) = k  вершин с чётными номерами. Поскольку эти отрезки соединяют вершины с номерами одной чётности, то k чётно. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 23
Название Делимость, инварианты, раскраски
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Чет и нечет
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 23.008

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .