Задача 58175

Темы:    [ Эйлерова характеристика ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Решение

а) С одной стороны, сумма всех углов полученных треугольников равна p. С другой стороны, она равна (n - 2) + 2m. Поэтому p = n + 2m - 2.
б) Воспользуемся результатом задачи 23.15. В рассматриваемой ситуации p = n + 2m - 2 и r = n + m; требуется вычислить q. Согласно формуле Эйлера q = p + r - 1 = 2n + 3m - 3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	23.015B