Задача 58196

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

Решение

Предположим, что любые две точки, лежащие на расстоянии 1, окрашены в разные цвета. Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной 1; все его вершины разного цвета. Пусть точка A₁ симметрична A относительно прямой BC. Так как A₁B = A₁C = 1, то цвет точки A₁ отличен от цветов точек B и C, т. е. она окрашена в тот же цвет, что и точка A. Эти рассуждения показывают, что если AA₁ = , то точки A и A₁ одного цвета. Поэтому все точки окружности радиуса  с центром A одного цвета. Ясно, что на этой окружности найдутся две точки, расстояние между которыми равно 1. Получено противоречие.