Условие
Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Решение
Предположим, что нет прямоугольного треугольника с вершинами одного
цвета. Разделим каждую сторону правильного треугольника двумя точками на три равные части. Эти точки образуют правильный шестиугольник. Если две его
противоположные вершины одного цвета, то все остальные вершины будут второго
цвета, а значит, есть прямоугольный треугольник с вершинами второго цвета. Следовательно, противоположные вершины шестиугольника разноцветные. Поэтому найдутся две соседние разноцветные вершины; противоположные им вершины тоже разноцветные. Одна из этих пар разноцветных вершин лежит на стороне исходного треугольника. Вершина A этой стороны не может быть ни первого, ни второго цвета. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
