Информация о задаче

Задача 58217

Тема:

[

Теорема Минковского

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки. Докажите, что S $\le$ p.

Решение

Прежде всего докажем, что если внутри выпуклой фигуры $\Phi$ с площадью S и полупериметром p нет точек целочисленной решётки, то существует выпуклая фигура $\Phi{^\prime}$ с площадью S' = S и полупериметром p' $\le$ p, внутри которой нет точек целочисленной решётки и которая симметрична относительно прямых x = 1/2 и y = 1/2. Затем для фигуры $\Phi{^\prime}$ мы докажем, что S' $\le$ p'.
Фигура $\Phi{^\prime}$ строится по фигуре $\Phi$ следующим образом. Сначала мы берём симметризацию по Штейнеру фигуры $\Phi$ относительно прямой x = 1/2, а затем для полученной фигуры рассматриваем симметризацию по Штейнеру относительно прямой y = 1/2. При симметризации по Штейнеру снова получается выпуклая фигура (задача 22.12B), её площадь не изменяется, а периметр не увеличивается (задача 22.12B1). Предположим, что промежуточная фигура содержит целочисленную точку (m, n). Эта фигура симметрична относительно прямой x = 1/2, поэтому она содержит точку (- m + 1, n). Следовательно, прямая y = n пересекает фигуру $\Phi$ по отрезку, длина которого не меньше | 2m - 1| $\ge$ 1. Но тогда фигура $\Phi$ должна содержать целочисленную точку. Приходим к противоречию. Аналогично доказывается, что фигура $\Phi{^\prime}$ не содержит целочисленных точек.
Докажем теперь, что S' $\le$ p'. Для этого рассмотрим два случая.
1. Фигура $\Phi{^\prime}$ не содержит точек (x, y), для которых x > 3/2 или y > 3/2. Тогда фигура $\Phi{^\prime}$ целиком содержится в фигуре, заштрихованной на рис. Нужно лишь объяснить, почему от квадрата со стороной 2 отрезаны угловые квадратики со стороной 1/2. Это связано с тем, что если для любой точки углового квадратика рассмотреть ещё точки, симметричные ей относительно прямых x = 1/2 и y = 1/2 и относительно точки (1/2, 1/2), то выпуклая оболочка этих четырёх точек будет содержать целочисленные точки (например, начало координат). Таким образом, S' $\le$ 3. Поэтому согласно изопериметрическому неравенству S'/p' $\le$ $\sqrt{S'/\pi}$ $\le$ $\sqrt{3/\pi}$ < 1.

2. Фигура $\Phi{^\prime}$ содержит точку (x, y), для которой x > 3/2 или y > 3/2. Пусть для определённости наибольшая координата x точек фигуры $\Phi{^\prime}$ равна a > 3/2. Рассмотрим точку (a, b) фигуры $\Phi{^\prime}$ с наибольшей координатой y. Ясно, что b < 1, поскольку иначе прямоугольник с вершинами (a, b), (- a + 1, b), (- a + 1, - b + 1), (a, - b + 1) содержал бы целочисленные точки. Часть фигуры $\Phi{^\prime}$ , состоящая из точек (x, y), для которых x $\ge$ 1/2 и y $\ge$ 1/2, принадлежит трапеции, заштрихованной на рис., поэтому площадь этой части не превосходит ${\frac{1}{2}}$ $\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$ a - ${\frac{1}{2}}$ $\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$ . Следовательно, S' $\le$ 2 $\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$ a - ${\frac{1}{2}}$ $\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$ . Ясно также, что p' $\ge$ 2 $\left(\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right.$ a - ${\frac{1}{2}}$ $\left.\vphantom{a-\frac{1}{2}}\right)$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	4
Название	Вокруг теоремы Минковского
Тема	Теорема Минковского
задача
Номер	24.010B-