|
|
 |
Условие
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
Решение
Пусть отрезок MN, где точки M и N лежат на сторонах AB и CD, разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёхугольника NMBC. С другой стороны,
∠NMB = 180° – ∠AMN. Поэтому если
∠AMN = ∠NMB, то ∠NMB = 90°, а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC, то в этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме
180°. Проведя аналогичные рассуждения для угла MND, получаем, что либо AB ⊥ MN и CD ⊥ MN (и тогда
AB || CD), либо в четырёхугольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180°; без ограничения общности можно считать, что один из них – угол BMN. Рассмотрим три случая.
1) ∠BMN + ∠MNC = 180°. Тогда BM || CN, а значит, и AB || CD.
2) ∠BMN + ∠MBC = 180°. Тогда MN || BC. Поэтому либо AD || MN, либо ND || MA.
3) ∠BMN + ∠BCN = 180°. Тогда четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно,
∠BCN = 180° – ∠BMN и ∠ADN = 180° – ∠AMN = ∠BMN, то есть BC || AD.
Замечания
В журнале "Квант" данная задача была в следующей формулировке:
Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?
Источники и прецеденты использования
| журнал | |
| Название | "Квант" |
| год | |
| Год | 1970 |
| выпуск | |
| Номер | 3 |
| Задача | |
| Номер | М12 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 25 |
| Название | Разрезания, разбиения, покрытия |
| Тема | Разрезания, разбиения, покрытия и замощения |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Свойства частей, полученных при разрезаниях |
| Тема | Свойства частей, полученных при разрезаниях |
| задача | |
| Номер | 25.019 |
