Задача 58349

Тема:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Даны четыре окружности, причем окружности S₁ и S₃ пересекаются с обеими окружностями S₂ и S₄. Докажите, что если точки пересечения S₁ с S₂ и S₃ с S₄ лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения S₁ с S₄ и S₂ с S₃ лежат на одной окружности или прямой (рис.).

Решение

После инверсии с центром в точке пересечения S₁ и S₂ получим прямые l₁, l₂ и l, пересекающиеся в одной точке. Прямая l₁ пересекает окружность S₄^* в точках A и B, прямая l₂ пересекает S₃^* в точках C и D, а прямая l проходит через точки пересечения этих окружностей. Поэтому точки A, B, C, D лежат на одной окружности (задача 3.9).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.030