Задача 58351

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P, Q, R, S, T — точки пересечения окружностей S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, о которых говорится в условии (см. рис.). Докажем, например, что точки P, Q, R, S лежат на одной окружности. Проведем окружность , описанную около треугольника NKD. Применяя результат задачи 2.83, а) (совпадающей с 19.45) к четырехугольникам AKDE и BNDC, получаем, что окружности S₄, S₅ и  пересекаются в одной точке (в точке P) и окружности S₂, S₃, тоже пересекаются в одной точке (в точке S). Следовательно, окружность  проходит через точки P и S. Заметим теперь, что из восьми точек пересечения окружностей , S₁, S₂, S₅ четыре, а именно N, A, B, K лежат на одной прямой. Следовательно, согласно задаче 28.31 оставшиеся четыре точки P, Q, R, S лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.032