Задача 58354

Темы:    [ Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 8- Классы: 9,10,11

Условие

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l₁, l₂, l₃, l₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности S_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть l_i, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек A_i, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой l_i, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

Решение

а) Обозначим через M_ij точку пересечения прямых l_i и l_j, а через S_ij — окружность, соответствующую трем оставшимся прямым. Тогда точка A₁ является отличной от точки M₃₄ точкой пересечения окружностей S₁₅ и S₁₂.
Повторив это рассуждение для всех точек A_i, получаем, что они в силу задачи 28.32 лежат на одной окружности.
б) Докажем утверждение задачи по индукции, рассматривая отдельно случай четного и нечетного n.
Пусть n нечетно. Обозначим через A_i точку, соответствующую набору из n - 1 прямой, получаемому отбрасыванием прямой l_i, а через A_ijk — точку, соответствующую набору из n данных прямых без прямых l_i, l_j и l_k. Аналогично обозначим через S_ij и S_ijkm окружности, соответствующие наборам из n - 2 и n - 4 прямых, получаемых отбрасыванием прямых l_i, l_j и l_i, l_j, l_k, l_m.
Для того чтобы доказать, что n точек A₁, A₂,..., A_n лежат на одной окружности, достаточно доказать, что любые четыре из них лежат на одной окружности. Докажем это, например, для точек A₁, A₂, A₃ и A₄. Так как точки A_i и A_ijk лежат на S_ij, то окружности S₁₂ и S₂₃ пересекаются в точках A₂ и A₁₂₃, окружности S₂₃ и S₃₄ — в точках A₃ и A₂₃₄, окружности S₃₄ и S₄₁ — в точках A₄ и A₁₃₄, окружности S₄₁ и S₁₂ — в точках A₁ и A₁₂₄. Но точки A₁₂₃, A₂₃₄, A₁₃₄ и A₁₂₄ лежат на одной окружности — окружности S₁₂₃₄, поэтому согласно задаче 28.31 точки A₁, A₂, A₃ и A₄ лежат на одной окружности.
Пусть теперь n четно; S_i, A_ij, S_ijk, A_ijkm — окружности и точки, соответствующие наборам из n - 1, n - 2, n - 3 и n - 4 прямых. Для того чтобы доказать, что окружности S₁, S₂,..., S_n пересекаются в одной точке, покажем, что это верно для любых трех из них. (Этого достаточно при n5; см. задачу 26.12.) Докажем, например, что S₁, S₂ и S₃ пересекаются в одной точке. По определению точек A_ij и окружностей S_i и S_ijk точки A₁₂, A₁₃ и A₁₄ лежат на окружности S₁; A₁₂, A₂₃ и A₂₄ — на S₂; A₁₃, A₁₄ и A₃₄ — на S₃; A₁₂, A₁₄ и A₂₄ — на S₁₂₄; A₁₃, A₁₄, A₃₄ — на S₁₃₄; A₂₃, A₂₄, A₃₄ — на S₂₃₄. Но три окружности S₁₂₄, S₁₃₄ и S₂₃₄ проходят через точку A₁₂₃₄ поэтому согласно задаче 28.33 и окружности S₁, S₂ и S₃ пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	28
Название	Инверсия
Тема	Инверсия
параграф
Номер	5
Название	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
Тема	Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку
задача
Номер	28.035