Задача 58360

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

Решение

Нам надо доказать, что если A', B', C' — образы точек A, B, C при растяжении относительно прямой l с коэффициентом k и точка C лежит на прямой AB, то точка C' лежит на прямой A'B'. Пусть = t. Обозначим через A₁, B₁, C₁ проекции точек A, B, C на прямую l, и пусть a = , b = , c = , a' = , b' = , c' = , x = , y = . Из того, что при проекции на прямую l сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что y = tx и  y + (c - a) = t(y + (b - a)). Вычитая первое равенство из второго, получаем (c - a) = t(b - a). По определению растяжения a' = ka, b' = kb, c' = kc, поэтому = y + k(c - a) = tx + k(t(b - a)) = t(x + k(b - a)) = t.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.001