Информация о задаче

Задача 58369

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости дан многоугольник A₁A₂...A_n и точка O внутри его. Докажите, что равенства

$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ ,
1 $\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_4}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ ,
to4.5cm $\displaystyle \dotfill$
$\displaystyle \overrightarrow{OA_{n-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$ $\displaystyle \overrightarrow{OA_n}$ .

необходимы и достаточны для того, чтобы существовало аффинное преобразование, переводящее данный многоугольник в правильный, а точку O — в его центр.

Решение

Докажем сначала, что если A₁A₂...A_n — правильный многоугольник, вписанный в единичную окружность, а O — его центр, то указанные в условии задачи равенства выполняются, т. е.

$\displaystyle \overrightarrow{OA_{i-1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_{i+1}}$ = 2k $\displaystyle \overrightarrow{OA_i}$ , i = 1,..., n1)

(мы считаем, что A₀ = A_n и A_{n + 1} = A₁; через k обозначено число cos(2 $\pi$ /n)). Для этого при каждом фиксированном i выберем на плоскости систему координат с центром в точке O и осью Ox, направленной вдоль луча OA_i. Тогда точки A_{i - 1}, A_i и A_{i + 1} имеют координаты $\bigl($ k, - sin(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ , (1, 0) и $\bigl($ k, sin(2 $\pi$ /n) $\bigr)$ соответственно. Равенство (1) при данном i теперь легко проверяется.
В силу задачи 29.4 равенства (1) выполняются также для образа правильного n-угольника при аффинном преобразовании.
Наоборот, пусть для многоугольника A₁A₂...A_n и точки O внутри его выполнены равенства (1). Возьмем правильный многоугольник B₁B₂...B_n с центром O и рассмотрим аффинное преобразование L, которое переводит треугольник OB₁B₂ в треугольник OA₁A₂. Докажем индукцией по i, что L(B_i) = A_i для всех i $\ge$ 2. При i = 2 это утверждение следует из определения отображения L. Предположим, что мы его доказали для всех чисел, не превосходящих i, и докажем для i + 1. Так как для правильных многоугольников равенства (1) уже доказаны, а для многоугольника A₁A₂...A_n они выполнены по предположению, то

$\begin{multline*} \overrightarrow{OA_{i+1}}= 2k\overrightarrow{OA_i}-\overrigh... ...B_i}-\overrightarrow{OB_{i-1}}) =L(\overrightarrow{OB_{i+1}}). \end{multline*}$

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.008.1