Задача 58377

Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 7+ Классы: 8,9

Условие

Пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда L — аффинное преобразование.

Решение

Прежде всего заметим, что преобразование L взаимно однозначно отображает любую прямую на некоторую прямую. Действительно, пусть A₁ и B₁ — образы двух различных точек A и B. Тогда образ любой точки прямой AB лежит на прямой A₁B₁. Остается доказать, что если C₁ — точка прямой A₁B₁, то ее прообраз C лежит на прямой AB. Предположим, что точка C не лежит на прямой AB. Тогда прямые AC и BC различны, а их образы лежат на прямой A₁B₁. Пусть X — произвольная точка плоскости. Проведем через X прямую, пересекающую прямые AC и BC в различных точках A' и B'. Образы точек A' и B' лежат на прямой A₁B₁, поэтому образ точки X тоже лежит на прямой A₁B₁. Это противоречит тому, что образом отображения L служит вся плоскость.
Итак, пусть L — взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую прямую в некоторую прямую. Будем последовательно доказывать свойства этого отображения, используя каждый раз то, что было доказано на предыдущих шагах. Доказательство первых 5 шагов уже приведено в решениях задач 29.2- 29.4. Убедитесь самостоятельно, что там нигде не требуется непрерывность.
Шаг 1. Отображение L переводит параллельные прямые в параллельные прямые.
Шаг 2. Корректно определено действие L на векторах, т.е. если = , то = , где A₁, B₁, C₁, D₁ — образы точек A, B, C, D.
Шаг 3. L( 0) = 0.
Шаг 4. L(a + b) = L(a) + L(b).
Шаг 5. L(ka) = kL(a) при рациональном k.
Для непрерывного отображения L решение задачи было бы завершено, поскольку любое действительное число k можно приблизить рациональными числами. Но если не требовать непрерывности отображения L, то самая трудная часть доказательства только начинается.
Пусть a = и b =  — базисные векторы. При отображении L они переходят в векторы a₁ = и b₁ = . Возьмем на прямых OA и OB точки X и Y, соответственно. Они переходят в точки X₁ и Y₁, лежащие на прямых O₁A₁ и O₁B₁, соответственно. Это означает, что L(xa) = (x)a₁ и L(yb) = (y)b₁, где и  — некоторые взаимно однозначные отображения множества действительных чисел в себя.
Шаг 6. (t) = (t).
В самом деле, если = t  и = t , то прямые XY и AB параллельны, а значит, прямые X₁Y₁ и A₁B₁ тоже параллельны, т.е. (t) = (t).
Мы доказали, что L(xa + yb) = (x)a₁ + (y)b₁. Остается доказать, что (x) = x для всех действительных x. Напомним, что (x) = x при рациональных x согласно шагу 5. Поэтому достаточно доказать, что если x < y, то (x) < (y).
Шаг 7. (xy) = (x)(y) при всех действительных x, y.
Рассмотрим пропорциональные векторы xa + yb и a + b. Их образы (x)a₁ + (y)b₁ и a₁ + b₁ тоже пропорциональны, поэтому = . В частности,

= =     и     = = (x)(y).

Шаг 8. Если x < y, то (x) < (y).
Согласно шагу 4 получаем (y) = (y - x + x) = (y - x) + (x). Поэтому достаточно проверить, что если t = y - x > 0, то (t) > 0. Положительное число t можно представить в виде t = s², где s — некоторое действительное число, поэтому (t) = (s)² > 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	1
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер	29.013B4