Информация о задаче

Задача 58384

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M₁, N₁ и P₁ симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.
б) если M₁, N₁ и P₁ — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM₁| BC, NN₁| CA и PP₁| AB, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.

Решение

а) Поскольку любой треугольник аффинным преобразованием переводится в правильный и при этом середины сторон переходят в середины сторон, центрально симметричные точки — в центрально симметричные, а равновеликие треугольники — в равновеликие треугольники (задача 29.11), то будем считать, что треугольник ABC равносторонний со стороной a. Обозначим длины отрезков AM, BN, CP через p, q, r соответственно. Тогда

$\begin{multline*} S_{ABC}-S_{MNP}=S_{AMP}+S_{BMN}+ S_{CNP}=\\ =\sin 60^{\circ}(p(a-r)+q(a-p)+r(a-q))/2=\sin 60^{\circ} (a(p+q+r)-(pq+qr+rp))/2. \end{multline*}$

Аналогично

$\begin{multline*} S_{ABC}-S_{M_1N_1P_1}= \\ =\sin 60^{\circ}(r(a-p)+p(a-q)+q(a-r))/2=\sin 60^{\circ}(a(p+q+r)- (pq+qr+rp))/2. \end{multline*}$

б) Как и в предыдущей задаче, будем считать, что ABC — правильный треугольник. Пусть M₂N₂P₂ — образ треугольника M₁N₁P₁ при повороте вокруг центра треугольника ABC на 120^o в направлении от A к B (рис.). Тогда AM₂ = CM₁ = BM. Аналогично, BN₂ = CN и CP₂ = AP, т. е. точки M₂, N₂, P₂ симметричны точкам M, N, P относительно середин соответствующих сторон. Тем самым задача свелась к предыдущей.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	2
Название	Решение задач при помощи аффинных преобразований
Тема	Решение задач при помощи аффинных преобразований
задача
Номер	29.017