Условие
Докажите, что если
M' и
N' — образы многоугольников
M
и
N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей
M и
N равно отношению площадей
M' и
N'.
Решение
Пусть
a1 и
a2 — какие-нибудь две перпендикулярные прямые.
Поскольку аффинное преобразование сохраняет отношение длин
параллельных отрезков, то длины всех отрезков, параллельных одной
прямой, умножаются на один и тот же коэффициент. Обозначим
через
k1 и
k2 эти коэффициенты для прямых
a1 и
a2.
Пусть
— угол между образами этих прямых. Докажем, что данное
аффинное преобразование изменяет площади всех многоугольников
в
k раз, где
k =
k1k2sin
.
Для прямоугольника со сторонами, параллельными
a1 и
a2,
а также для прямоугольного треугольника с катетами, параллельными
a1
и
a2, это утверждение очевидно. Любой другой треугольник можно
получить, отрезав от прямоугольника со сторонами, параллельными
a1
и
a2, несколько прямоугольных треугольников с катетами,
параллельными
a1 и
a2 (рис.), и, наконец, согласно
задаче
22.22, любой многоугольник можно разрезать на треугольники.
Источники и прецеденты использования
