Задача 58398

Тема:    [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10

Условие

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Решение

Обозначим через A₃ (соответственно B₃, C₃) отличную от A₂ (соответственно B₂, C₂) точку пересечения прямой A₁A₂ (соответственно B₁B₂, C₁C₂) со вписанной окружностью. Нужно доказать, что эти три точки совпадают.
Расположим треугольник ABC на комплексной плоскости так, чтобы вписанная окружность совпала с единичной окружностью с центром в нуле, а прямая l — с вещественной осью. Пусть a, b, c — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB соответственно. Тогда согласно задаче 29.22.1 A = 2bc/(b + c). Поэтому A₁ = A = (A + )/2 = bc/(b + c) + /( + ). Но

= = = .

Значит, A₁ = bc/(b + c) + 1/(b + c) = (1 + bc)/(b + c). Ясно, что A₂ = - a. Поэтому согласно задаче 29.23

A₃ = = .

Аналогично доказывается, что B₃ и C₃ тоже равны этому комплексному числу.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	29
Название	Аффинные преобразования
Тема	Аффинная геометрия
параграф
Номер	3
Название	Комплексные числа
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	29.024