Задача 58454

Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 6+ Классы: 10,11

Условие

На стороне AB четырехугольника ABCD взята точка M₁. Пусть M₂ — проекция M₁ на прямую BC из D, M₃ — проекция M₂ на CD из A, M₄ — проекция M₃ на DA из B, M₅ — проекция M₄ на AB из C и т. д. Докажите, что M₁₃ = M₁ (а значит, M₁₄ = M₂, M₁₅ = M₃ и т. д.).

Решение

Согласно задаче 30.15 достаточно рассмотреть только тот случай, когда ABCD — квадрат. Нам надо доказать, что композиция описанных в условии проектирований является тождественным преобразованием. Согласно задаче 30.4 проективное преобразование тождественно, если у него имеются три различные неподвижные точки. Несложно проверить, что точки A, B и бесконечно удаленная точка прямой AB являются неподвижными для данного преобразования.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	5
Название	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
Тема	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
задача
Номер	30.046