Задача 58490

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Окружность, центр которой лежит на эллипсе, касается двух сопряженных диаметров. Докажите, что радиус окружности не зависит от выбора сопряженных диаметров.

Решение

Сопряженные диаметры можно представить посредством диагоналей параллелограмма ABCD, описанного вокруг эллипса с центром O. Пусть биссектрисы углов AOB, BOC, COD, DOA пересекают стороны этого параллелограмма в точках A₁, B₁, C₁, D₁ соответственно, а лучи OA₁, OB₁, OC₁, OD₁ пересекают эллипс в точках A₂, B₂, C₂, D₂. Тогда точки A₂, B₂, C₂, D₂ — центры рассматриваемых окружностей.
Достаточно доказать, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными прямым AC и BD. В самом деле, диагонали этого параллелограмма перпендикулярны, поэтому он — ромб. Согласно задаче 31.022 радиус вписанной окружности такого ромба зависит только от эллипса и не зависит от положения ромба. Из параллельности прямых A₂B₂ и AC следует, что радиус вписанной окружности ромба равен расстоянию от точки A₂ до прямой AC, т. е. он равен радиусу рассматриваемой окружности с центром A₂.
Докажем, например, что A₂B₂ || AC. Сначала заметим, что A₁B₁ || AC, так как

AA₁ : A₁B = AO : BO = CO : BO = CB₁ : BB₁.

Сделаем аффинное преобразование, переводящее рассматриваемые сопряженные диаметры в диаметры окружности. В таком случае образы прямых A₁O и B₁O будут симметричны относительно прямой OB, поэтому образ прямой A₂B₂ будут параллелен образу прямой AC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Эллипс
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.023