Задача 58520

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Решение

а) Продолжим рассуждения из решение задачи 31.052 дальше. Приравнивая (2) и (3), получим, что точки пересечения прямых AF и BE, ED и CF, AD и BC лежат на прямой l_AD = l_BC. А приравняв (1) и (3), получим, что точки пересечения прямых AB и CF, CD и BE, AD и EF лежат на прямой l_AD = l_EF. Легко проверить, что полученные прямые

l_BC = l_EF,    l_AD = l_BC,    l_AD = l_EF

пересекаются в одной точке. В самом деле, если X — точка пересечения первых двух из этих прямых, то

l_BC(X)l_AD(X) = l_EF(X)l_BC(X).

Сократив на l_BC(X), получим l_AD = l_EF (мы не будем останавливаться на обсуждении вырожденного случая, когда l_BC(X) = 0).
б) При доказательстве теоремы Штейнера исходными четырехугольниками были ABCD, AFED и BEFC. Можно исходить также из четырехугольников ABFE, ABDC и CDFE. Тогда получим теорему Киркмана.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	5
Название	Пучки коник
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.053