Задача 60584

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Решите в целых числах уравнение   xφⁿ⁺¹ + yφⁿ.
Число φ определено в задаче 60578.

Решение

Если  xφⁿ⁺¹ + yφⁿ,  то и    где    – число, сопряженное к φ. Значит,    Согласно формуле Бине (см. задачу 60578)   xF_n+1 + yF_n = 0,  где F_n и F_n+1 – числа Фибоначчи. Поскольку числа F_n и F_n+1 взаимно просты (см. задачу 60573),
то  x = kF_n,  y = – kF_n+1.  Подставив в исходное уравнение, получим    или    Поскольку    то  k = (–1)ⁿ⁺¹.

Ответ

x = (–1)ⁿ⁺¹F_n ,  y = (–1)ⁿF_n+1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	4
Название	О том, как размножаются кролики
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	03.132