Задача 60622

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что при  k ≥ 1  выполняется равенство:   = [a^F_k; a^F_k–1, ..., a^F₀],   где {F_k} – последовательность чисел Фибоначчи.

Подсказка

Примените алгоритм Евклида к многочленам  a^F_k+2 – 1  и  a^F_k+1 – 1.

Решение

Заметим, что  a^F_k+2 – 1 = a^F_k+1+F_k – 1 = (a^F_k+1 – 1)a^F_k + a^F_k – 1.  Дальнейшее следует из задачи 60597.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.170