Задача 60753

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

При помощи задачи 60752 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида  p = 4k + 1.

Решение

Пусть таких чисел всего n:  p₁, ..., p_n.  Рассмотрим число  (2p₁...p_n)² + 1.  Согласно задаче 60752 у него есть простой множитель вида  p = 4k + 1.  С другой стороны, это число не делится ни на одно из чисел p₁, ..., p_n. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.127