Информация о задаче

Задача 60863

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что число $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ + $\sqrt{5}$ + $\sqrt{7}$ + $\sqrt{11}$ + $\sqrt{13}$ + $\sqrt{17}$ иррационально.

Подсказка

Для решения этой задачи удобнее доказать более общее утверждение: если b₁, ..., b_n — ненулевые целые числа, a₁, ..., a_n — натуральные числа, свободные от квадратов, то

b₁ $\displaystyle \sqrt{a_1}$ +...+ b_n $\displaystyle \sqrt{a_n}$ $\displaystyle \ne$ 0.

(13.5)

Выбирая здесь a₁ = 1, получаем иррациональность суммы радикалов $\sqrt{a_2}$ +...+ $\sqrt{a_n}$ . Для доказательства соотношения 13.5 проведите индукцию по числу простых p₁, ..., p_m, входящих в разложения чисел a₁, ..., a_n на множители.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.025