Задача 61045

Темы:    [ Теорема Виета ] [ Формулы для площади треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство

Решение

a + b + c = 2p,  abc = 4RS = 4Rrp  (см. задачу 108568). Отсюда   .   По формуле Герона
r²p² = p(p – a)(p – b)(p – c),  то есть  r²p = p³ – (a + b + c)p² + (ab + bc + ac)p – abc = p³ – 2p³ + (ab + bc + ac)p – 4Rrp.  Значит,
ab + bc + ac = r² + p² + 4Rr.  Теперь уравнение записывается по обратной теореме Виета.

Ответ

x³ – 2px² + (r² + p² + 4Rr)x – 4Rrp = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	5
Название	Теорема Виета
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.122