Задача 61111

Темы:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть a, b – натуральные числа и  (a, b) = 1.  Докажите, что величина    не может быть действительным числом за исключением случаев
(a, b) = (1, 1), (1,3), (3,1).

Решение

Пусть    – действительное число. Тогда    – положительное число, то есть    – корень 2n-й степени из 1. Пусть    тогда φ выражается рациональным числом градусов. Кроме того,    и    рационален. Согласно задаче 61103 2φ равно ^πk/₂ или ^πk/₃, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.047