Задача 61172
|
|
 |
Условие
а) Найдите все корни xk уравнения cos x + cos 2x + cos 3x + ½ = 0.
б) Какому алгебраическому уравнению удовлетворяют числа 2 cos xk?
Решение
а) 0 = 2 sin x/2 cos x + 2 sin x/2 cos 2x + 2 sin x/2 cos 3x + sin x/2 = sin 3x/2 – sin x/2 + sin 5x/2 – sin 3x/2 + sin 7x/2 – sin 5x/2 + sin x/2 = sin 7x/2, откуда 7x/2 = kπ.
б) 0 = 2 cos xk + 2 cos 2xk + 2 cos 3xk + 1 = 2 cos xk + 4 cos²xk – 2 + 8 cos³xk – 6 cos xk + 1 = (2 cos xk)³ + (2 cos xk)² – 2·2 cos xk – 1.
Ответ
а) xk = 2kπ/7 (k – любое целое число);
б) t³ + t² – 2t – 1 = 0.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 8 |
| Название | Алгебра + геометрия |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Геометрия помогает алгебре |
| Тема | Неопределено |
| задача | |
| Номер | 08.011 |
