Информация о задаче

Задача 61235

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Обратные тригонометрические функции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

arcctg F_2n - arcctg F_{2n + 2} = arcctg F_{2n + 1}.

(8.2)

Получите отсюда равенство

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F_{2n + 1} +...= $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$ .

Решение

По формуле котангенса суммы

ctg $\displaystyle \left(\vphantom{\hbox{\rm arctg\ } F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}}\right.$ arcctg F_2n - arcctg F_{2n + 2} $\displaystyle \left.\vphantom{\hbox{\rm arctg\ } F_{2n}-\hbox{\rm arctg\ } F_{2n+2}}\right)$ = $\displaystyle {\dfrac{F_{2n}F_{2n+2}+1}{F_{2n+2}-F_{2n}}}$ = F_{2n + 1}.

Тем самым равенство (8.2 ) доказано. Суммируя его по n от 1 до $\infty$ , находим

arcctg 2 + arcctg 5 + arcctg 13 +...+ arcctg F_{2n + 1} +...= arcctg 1 = $\displaystyle {\dfrac{\pi}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.074