Информация о задаче

Задача 61247

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos $\displaystyle \alpha$ = cos $\displaystyle \beta$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \beta$ sin $\displaystyle \gamma$ cos A,

cos $\displaystyle \beta$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \gamma$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \gamma$ cos B,

cos $\displaystyle \gamma$ = cos $\displaystyle \alpha$ cos $\displaystyle \beta$ + sin $\displaystyle \alpha$ sin $\displaystyle \beta$ cos C,

(8.6)

и, кроме того, величины $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $\pi$ . Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$ .

(8.7)

Решение

Из первого равенства

cos A = $\displaystyle {\dfrac{\cos \alpha-\cos \beta\cos \gamma}{\sin \beta\sin \gamma}}$ .

Отсюда

sin²A = $\displaystyle {\dfrac{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2 \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^2\beta\sin^2\gamma}}$ ,

$\displaystyle {\dfrac{\sin^2A}{\sin^2\alpha}}$ = $\displaystyle {\dfrac{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2 \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma}}$ .

Так как данные формулы переходят одна в другую при круговой перестановке переменных $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , A, B, C и от этого преобразования правая часть последнего равенства не меняется, то

$\displaystyle {\frac{\sin^2 A}{\sin ^2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin^2 B}{\sin ^2\beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ^2C}{\sin ^2\gamma}}$ .

Так как все величины $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , A, B, C заключены в пределах от 0 до $\pi$ , то

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	8
Название	Алгебра + геометрия
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Тригонометрия
Тема	Тригонометрия (прочее)
задача
Номер	08.086