Задача 61367

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите неравенство  x^αy^β ≤ αx + βy  для положительных значений переменных при условии, что  α + β = 1  (α, β > 0).

Подсказка

Сначала докажите неравенство для рациональных α и β.

Решение

Пусть  x^αyβ > αx + βy  для некоторых x, y и α. При этих значениях x и y  f(α) = x^αy^1–α – αx – (1 – α)y  – непрерывная функция. Значит, она больше нуля на некотором интервале, содержащем α. Этот интервал содержит положительное рациональное число  r = ^k/n.  Положим  m = n – k.  По выбору r  f(r) > 0,  то есть     Но это противоречит неравенству Коши (см. задачу 61404 а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.016