Задача 61392

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Иенсена ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11 Название задачи: Неравенство Юнга.

Условие

Даны рациональные положительные p, q, причём  ¹/_p + ¹/_q = 1.  Докажите, что для положительных a и b выполняется неравенство   ab ≤ ^ap/_p + ^bq/_q.

Решение 1

Можно подобрать натуральные m и n так, чтобы выполнялись равенства     После замены  α = a^1/m,  β = b^1/n  исходное неравенство принимает вид     Для его доказательства достаточно воспользоваться неравенством Коши:  

Решение 2

В силу выпуклости вверх функции  ln x  неравенство  ln(αx + (1 – α)y) ≥ α ln x + (1 – α) ln y  выполняется при  0 < α < 1  для всех положительных x и y (см. задачу 61406). Подставив  α = ¹/_p,  x = a^p,  y = b^q,  получим     что и требовалось.

Замечания

Как видно из решения 2, слово "рациональные" в условии – лишнее.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	1
Название	Различные неравенства
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.041