|
|
 |
Условие
Докажите неравенства:
а) x4 + y4 + z4 ≥ x²yz + xy²z + xyz²;
б) x³ + y³ + z³ ≥ 3xyz;
в) x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 4xyzt;
г) x5 + y5 ≥ x³y² + x²y³.
Значения переменных считаются положительными.
Решение
а) См. задачу 30869.
б) Первый способ. Неравенство следует из разложения
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) (см. задачу 61005) и неравенства
x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (см. задачу 30865).
Второй способ. Это неравенство Коши (см. задачу 60310) для трёх переменных.
в) Первый способ. x4 + y4 + z4 + t4 ≥ 2x²y² + 2z²t² ≥ 4xyzt.
Второй способ. Это неравенство Коши для четырёх переменных.
г) Сократив на x + y, видим, что достаточно доказать неравенство x4 + y4 ≥ x³y + xy³. Но x4 – x³y – xy³ + y4 = (x – y)(x³ – y³) = (x – y)²(x² + xy + y²) ≥ 0.
Замечания
См также задачу 61424.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Неравенства |
| Тема | Алгебраические неравенства и системы неравенств |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Симметрические неравенства |
| Тема | Алгебраические неравенства (прочее) |
| задача | |
| Номер | 10.065 |
