Условие
Пусть числа y0, y1, ..., yn таковы, что для любого многочлена f (x) степени m < n справедливо равенство: 
(*)
Докажите, что 
, где λ – некоторое фиксированное число.
Решение
Согласно задаче
61439 для чисел
действительно выполняются нужные равенства. Поэтому для решения задачи остается показать, что такой набор чисел {
yk} единственен с точностью до постоянного множителя. Предположим, что таких наборов два:
y0, ...,
yn и
z0, ...,
zn. Обозначим через λ и μ те числа, которые получаются при подстановке в равенство (*) наборов {
yk} и {
zk} и функции
Тогда новый набор чисел
tk = μ
yk – λ
zk обладает тем свойством, что
для всех многочленов
f(
x), deg
f(
x) ≤
n. Но многочлен
f(
x) можно подобрать так, чтобы
f(
k) =
tk (
k = 0, ...,
n). Отсюда
то есть
t1 =
t2 = ... =
tn = 0, что противоречит непропорциональности наборов {
yk} и {
zk}.
Источники и прецеденты использования
