Задача 61448

Темы:    [ Интерполяционный многочлен Ньютона ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 10,11 Название задачи: Интерполяционная формула Ньютона.

Условие

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент      интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты  d₀, d₁, ..., d_n  в этом представлении вычисляются по формуле  d_k = Δ^kf(0)  (0 ≤ k ≤ n).

Решение

  а) Докажем по индукции, что такое представление существует. База  (n = 0)  очевидна.
  Шаг индукции. Поскольку многочлены    обращаются в ноль в точке  x = 0,  то  d₀ = f(0).
   При этом  f(x) = d₀ + xg(x).  Положим  t = x – 1.  По предположению индукции многочлен  g(t + 1)  записывается в виде      Значит,

что и требовалось.

  б)      (поскольку   ).   Значит,     Подставив в эти равенства  x = 0,  получаем нужное утверждение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.021