|
|
 |
Условие
При возведении числа 1 + в различные степени, можно обнаружить некоторые закономерности:
(1 + )1 = 1 +
=
+
, (1 +
)2 = 3 + 2
=
+
, (1 +
)3 = 7 + 5
=
+
, (1 +
)4 = 17 + 12
=
+
.
Для их изучения определим числа an и bn при помощи равенства (1 + )n = an + bn
, (n ≥ 0).
а) Выразите через an и bn число (1 – )n.
б) Докажите равенство
в) Каким рекуррентным уравнениям удовлетворяют последовательности
{an} и {bn}?
г) Пользуясь пунктом а), найдите формулы n-го члена для
последовательностей {an} и {bn}.
д) Найдите связь между числами an, bn и подходящими дробями к числу .
Решение
б)
в) Из равенства (an + bn)(1 +
) = (an+1 + bn+1
) находим, что числа an и bn удовлетворяют рекуррентным соотношениям an+1 = an + 2bn,
bn+1 = an + bn. Отсюда an+2 = 2an+1 + an = 0, bn+2 = 2bn+1 + bn = 0 (n ≥ 0).
д) См. задачу 60618.
Ответ
а) (1 – )n = an – bn
; в) an+2 = 2an+1 + an, bn+2 = 2bn+1 + bn;
г) an = ½ ((1 + )n + (1 –
)n),
bn =
((1 +
)n – (1 –
)n); д) Pn/Qn = an+1/bn+1.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Последовательности и ряды |
| Тема | Последовательности |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Рекуррентные последовательности |
| Тема | Рекуррентные соотношения |
| задача | |
| Номер | 11.036 |
