Задача 61507

Темы:    [ Производящие функции ] [ Многочлены Чебышева ] [ Специальные многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11 Название задачи: Производящие функции многочленов Чебышева.

Условие

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

Решение

Согласно задаче 61471  T_n(x) = ½ (–i)ⁿL_n(2ix),  U_n(x) = (–i)nF_n+1(2ix),  где L_n(x) и F_n(x) – многочлены Люка и Фибоначчи. Поэтому

 

 

(Производящие функции L(x, z) и F(x, z) многочленов Люка и Фибоначчи вычислены в задаче 61506.)

Ответ

F_T(x, z) = (1 – xz)(1 – 2xz + z²)^–1,   F_U(x, z) = (1 – 2xz + z²)^–1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.080