Задача 64332

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане CL.
Докажите, что в треугольнике BKL также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.

Решение

  Докажем, что биссектриса KN и медиана LM треугольника BKL перпендикулярны (см. рис.).

  Пусть E – точка пересечения AK и CL. В треугольнике ACL биссектриса AE является высотой, а следовательно, и медианой. Значит, KE – серединный перпендикуляр к отрезку CL и  CA = LA = LB.  Кроме того, треугольник CKL – равнобедренный, откуда KE – биссектриса угла LKC.
  Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому  KN ⊥ AK.  Кроме того, LM – средняя линия в треугольнике ABK, то есть  LM || AK,  следовательно,  LM ⊥ KN.

Замечания

Заметим, что биссектриса и медиана треугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна сторона треугольника вдвое больше другой. Используя этот факт и свойство биссектрисы, можно получить, что в треугольнике BKL сторона BK вдвое больше чем LK, что даёт другой способ решения задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-04-14
класс
Класс	8-9 класс
задача
Номер	1