Задача 64390

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Нилов Ф.

На отрезке AB построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка AB в точке T и пересекает α в точках C и D. Лучи AC и TD пересекаются в точке E, лучи BC и TC – в точке F. Докажите, что прямые EF и AB параллельны.

Решение

  Поскольку AB – касательная к окружности ω, то  ∠TCD = ∠BTD.  Поэтому
∠FCE = ∠ACT = ∠ACD – ∠TCD = (180° – ∠ABD) – ∠BTD = ∠TDB = ∠FDE.  Следовательно, CDEF – вписанный четырёхугольник.

  Значит,  ∠FEC = ∠FDC = 180° – ∠BDC = ∠CAB,  то есть  FE || AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6