Задача 64397

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Ясинский В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.

Решение

Проведём через F и E прямые, параллельные AK и пересекающие BC в точках P и Q (см. рис.). По теореме Фалеса  PM = MQ,  значит,
CP = BQ  и    Применив теперь теорему Менелая к треугольнику AFE и прямой CB, получим     что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5