Задача 64401

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Автор: Ясинский В.

Окружность k проходит через вершины B и C треугольника ABC  (AB > AC)  и пересекает продолжения сторон AB и AC за точки B и C в точках P и Q соответственно. Пусть AA₁ – высота треугольника ABC. Известно, что  A₁P = A₁Q.  Докажите, что угол PA₁Q в два раза больше угла A треугольника ABC.

Решение

Поскольку  ∠A₁AP = 90° – ∠ABC = 90° – ∠AQP,  луч AA₁ проходит через центр O описанной окружности треугольника APQ (см. рис.). Этот центр также лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку PQ. Поскольку  AB ≠ AC,  прямые AO и l не параллельны. Но и O и A₁ являются их общими точками; значит, A₁ совпадает с O. Следовательно, вписанный угол PAQ равен половине центрального угла PA₁Q.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1