Задача 64443

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки K и L так, что  AK = CL  и  ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Докажите, что  KL = BC.

Решение

Построим параллелограмм BCLM. Треугольники AKL и BMK равны:  BM = LC = AK,  BK = AL,  ∠KBM = ∠A.  Значит, в треугольнике LKM  KL = KM,
а  ∠LKM = ∠BKM + ∠LKB = ∠ALK + ∠LKB = 60°.  Следовательно, этот треугольник равносторонний, и  KL = ML = BC.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4